MATEMATIČKI MODEL ŠIRENJA KORONAVIRUSA

Tekst: Prof. dr. sc. Darko Veljan

Foto: NYT

U tekstu donosimo kraći osvrt na činjenice, legende, mitove i vjerovanja te na jedan jednostavni matematički model širenja koronavirusa temeljem modela u teoriji grafova kojim dajemo procjene vjerojatnosti da ćete biti zaraženi i da će cijelokupno čovječanstvo biti zaraženotim zlokobnim virusom.

Iznenadna, nevjerojatna, pogubna i zaštrašujuća pojava-epidemija, zapravo-pandemija dosad nepoznatog koronavirusa (coronavirusa) službenog naziva Covid-19 desila se između 15. i 20. prosinca 2019. na tržnici ribom i mesom u središnjem kineskom gradu Wuhanu od „samo“ 12 milijuna stanovnika pokrajine Hubei sa oko 60 milijuna stanovnika. Od tamo potječe uzrečica: „Kinezi jedu sve na dvije noge osim čovjeka, sve na četiri noge osim stola i sve što leti osim aviona“. Nevidljivom, nečujnom, neosjetnom, nemirisnom se golemom brzinom proširila diljem svijeta, tako da je već sredinom ožujka 2020. zaraženih bilo oko 150 tisuća ljudi, od toga samo u Kini  preko 90 tisuća i tu je poprilično zadržano širenje zbog izolacija i karantena. Oko 8.000 ljudi je (dosad) umrlo kao posljedica zaraze (od toga oko 4.000 u Kini), a oko 70 tisuća je (privremeno?) izliječeno.

NALOG CK KINE

Osim Kine, najviše su za sada pogođene Južna Koreja, Japan, Iran i Italija, te sve europske zemlje i SAD. I u Hrvatskoj je (dosad) 20-ak zaraženih, u Sloveniji oko 60, BiH 10-ak, itd. Srbiji, Madžarskoj, Austriji, posvuda oko nas. Njemačka kancelarka je najavila da bi više od 70 posto stanovnika Njemačke uskoro moglo biti zaraženo. Zanimljivo, iz Sjeverne Koreje, unuk Kim Il Sunga nije najavio ni jednu zarazu iako je njegova satrapija s 1.300 km naslonjena na Kinu. Slično je sa Turskom i još nekim „demokracijama“. Ne znamo, ali dobro bi bilo debelo posumnjati. Koronavirus se sredinom ožujka 2020. i dalje svakodnevno širi, a 11. ožujka 2020. Svjetska zdravstvena organizacija (WHO) ju je proglasila svjetskom pandemijom.  Svjetsko i sva nacionalna gospodarstva već do sredine ožujka 2020. pretrpila su nepojmljive gubitke. CK kineske komunističke partije je dao nalog o kupovini svih relevantnih dionica kako bi se spasilo što se spasiti može. Sve svjetske burze su u sunovratu. Zatvorene škole diljem svijeta. Kako je naglo nastala, možda će tako naglo i iščeznuti nakon što poubija puno ljudi. Nada još nije umrla. Nadajmo se da ćemo ishode svega toga jednom trezveno moći rasčlaniti.

NEKE POZNATE ČINJENICE IZ WUHANA

Virus Covid-19 je nakupina proteina i lipida. Stanice Covid-19 su promjera 400-500 nm. Kada zaražena osoba kiše ili kašlje, Covid-19 lagano odleti 2-3 metra i pada na tlo, tamo preživi još 5-10 minuta i osim ako ga netko ne pokupi i udahne, recimo, pas ili mačka i poslije prenese ljudima, više-manje crkne. Navodno su Kinezi, saznavši za to, bacali pse i mačke s 20-ih katova nebodera. Kada koronavirus padne na glatki metal ili glatku plastiku, može tako preživjeti bar 12 sati pa i do 3 dana. Na tkivima (uho, grlo, nos, usta, oko, pluća) preživljava oko 12 sati i onda mutira i postane patogen. Na rukama živi 5-12 minuta i ako se u tom vremenu dirate oko nosa, usta, oka, uha itd., on se spoji sa sluznicama i vi ste zaraženi. Toplina od oko 30-ak i više stupnjeva Celzijusa  koja ga oplahuje bar 10-ak minuta ga, navodno, ubija. Stoga se očekuje da će u ljetnim mjesecima iščeznuti (ali to za sada nije posve potvrđeno). Pranje ruku sapunom ili deterdžentom za suđe ili rublje i ispiranje vodom ubija taj virus. Pokazalo se da ista osoba nakon izliječenja može opet biti zaražena. Virus je pogubniji za starije i osobe s kompromitiranim imuno sustavom zbog nekih kroničnih bolesti. Ali, najpogubnije je to što zaražena osoba bez simptoma može i vas zaraziti. Inkubacija traje od, navodno, 3 do 14, pa i 28 dana, a da nemate nikakvih značajnih simptoma. U tome razdoblju nesvjesno možete zaraziti stotine i stotine ljudi.

SIMPTOMI ZARAZE KORONAVIRUSOM

Prvo će se zaraziti grlo, a zatim ćete imati suhi kašalj 3-4 dana i glavobolje i moguće boli u mišićima. Tada se virus stopi s nazalnom tekućinom, uroni se u dušnik, ulazi tako u pluća i za oko 5-6 dana nastaje upala pluća. S upalom pluća nastaju visoka tjelesna temeperatura i poteškoće s disanjem. Osjetit ćete se kao da se utapate. U tom slučaju odmah potražite liječničku pomoć, gdje (za sada) očekujte liječenje standardnim lijekovima.

LEGENDE, MITOVI, VJEROVANJA

Ima već mnogo urbanih legendi, priča, vjerovanja i „teorija zavjera“ oko coronavirusa. Jedna je da su je donijeli „svemirci“ s asteroidima; to je nedokazana priča. Druga je da je to „dragi Bog“ kaznio čovječanstvo za silne grijehe. Dalje, to je naprosto posljedica emisije CO₂ i višak toplinske energije koja je aktivirala stari virus. Jedna od „romantičnih“ legendi je da se usred zagrijavanja planeta, otapljanjem leda na Mount Everestu i zatopljenjima oceana i atmosfere aktivirao stari virus koji je poubijao dinosauruse a koji je „prospavao“ milijune godina, „probudio se“, izašao, te ga je vjetar (ili Bog vjetra Eol) prvo otpuhnuo u Wuhan (2.500 km dalje) a ostatak je povijest… Druga teorija zavjere kaže da je virus namjerno ispušten „iz boce“,a treća da je nekim nesretnim slučajem izašao „iz Pandorine kutije“- laboratorija u Wuhanu. Pojavio se usred jedne od najtoplijih zima u zadnje doba – i eto još jedne „teorije“. Ne znamo! Bar zasad!

Slijedeća „teorija zavjere“ jest informacijski sustav temeljen na visoko frekvencijskoj 5G bežičnoj mreži koja inducira neionizirajuće zračenje upitnog djelovanja i učinaka na okoliš. Već je dokazano da 5G zagrijava mozak ljudi i uzrokuje neplodnost muškaraca (možda i žena).

Kao što je rečeno, možda je zagrijavanje planeta Zemlje uzrok, pa ako privremeno i eliminiramo cjepivom taj virus, tko kaže da se neće i opet pojaviti, možda malo mutiran, za godinu, dvije,… Kao sličica, možemo ih zamisliti da zagrljeni poput pingvina na Arktiku „spavaju“ i čekaju svoje „proljeće“ svakih par tisuća (ili milijuna) godina i opet „izađu“ iz mraka. Poput nevidljivih „anđelčića“ lebde okolo, a koliko ih zaparavo ima? Još se „stari, pijan i plačući jen pavlin zagorski zapital…’A kulko praf za praf ajngelov stane na varh igle?’“

Rečeno je da je koronavirus započeo svoj „pohod“ na tržnici mesa i riba u Wuhanu. Prema kineskoj izreci „Kinezi jedu sve na dvije noge osim ljudi, sve na četiri noge osim stola i sve što leti osim aviona“. A jedu i cibetke-ljuskare iz porodice mačaka, koje navodno žderu i šišmiše. Još ne znamo da li su i što su time pokrenuli. Kad se još prisjetimo da i Talijani jedu mačke, a Korejci i štošta drugoga, a Iranci deve, određena se pitanja nameću sama po sebi glede izbijanja pandemije koronavirusa. Kukce, ptice , gmazove i druge vrste kao one s kojih virusi skaču na čovjeka nismo ni spomenuli.

A je li sasvim isključeno da naš Korčulanin Marco Polo uzduž puta svileod Kine i Koreje do Milana nije sa sobom donio nešto što je „spavalo“  posljednjih 1000 i više godina i sada „malo protegnulo noge“? A nisu li suvremeni trgovci kineskim porculanom donijeli izravno virus na relaciji Wuhan-Milano?

Je li koronavirus došao iz svemira s nekim asteroidom, izbačen iz neke rakete, izašao iz nekog farmaceutskog laboratorija namjerno ili nekim slučajem, nesrećom, ili je pak posljedica klimatskih ili drugih promjena na Zemlji, ili manipulacija u poljoprivredi (Montesant slični), posebno u stočarstvu, za sada ne znamo. Vrlo je izgledno da će se u dogledno vrijeme pronaći odgovarajuće i učinkovito cjepivo. Već su početkom ožujka 2020., američki predsjednik Donald Trump, kongres i senat SAD-a odobrili oko 8.5 milijardi US dolara za istraživanje i liječenja tog parazita koji se među ljudima širi velikom brzinom, ne baš brzinom svjetlosti, ali eksponencijalno, kao što ćemo kasnije objasniti. I Europska je unija založila 25 milijardi eura u znanstvene i gospodarske svrhe . Zajedničkim naporima znanstvenika i neki kvantni skok znanja na području medicine, biologije, kemije, farmacije, fizike i uz informatiku i matematiku i druge to ćemo zlo dotući (i možda je već pobijeđeno ili nestalo dok ovo čitate).

JEDNOSTAVNI MATEMATIČKI MODEL ŠIRENJA KORONAVIRUSA

Na kraju evo i malo matematike, točnije elementarne teorije grafova i vjerojatnosti te koronavirusa. Malo apstraktne matematike ne bi nikome smjelo škoditi, dapače, bolje bi razumjeli svijet oko sebe. Ovdje ćemo rabiti samo pojam grafa. Graf G se  sastoji se od nepraznog konačnog skupa vrhova (neki vole reći čvorova) V i skupa bridova (spojnica među nekim od vrhova) E. To zapisujemo kao G = (V,E). Svaki vrh v iz V (oznaka v ϵ V) ima svoje susjede N(v), to su svi vrhovi koji su bridom spojeni s v, a njihov se broj zove stupanj (ili u kemijskoj teoriji grafova valencija vrha v, česta oznaka je deg(v)). Gotovo je očito da je zbroj svih stupnjeva dvostruki broj bridova. Graf je povezan ako od svakog vrha do svakog drugog možete doći putem kojeg čine uzastopni bridovi. (Primjerice, na pravcu s cjelobrojnim točkama kao vrhovima 0,1,2,3,… i bridovima- spojnicama susjednih cjelobrojnih točaka, put duljine 3 od vrha 0 do 3 je prolaženje od 0 dužinom 01, pa dužinom 12 i dužinom 23.)

KORONAVIRUS PROBLEM

Neka je G =(V,E) povezani graf čiji skup vrhova V ima broj elemenata #V = n (recimo, n =8×10⁹,tj. 8 milijardi). Neka svaki vrh v ϵ V ima svoju okolinu (rođake, prijatelje, susjede) N(v) = {w ϵ V; vw ϵ E}. To je, dakle, skup svih vrhova koji su bridom iz E spojeni sa v. Pretpostavimo da je broj susjeda #N(v) ≤ r (recimo, r = 101), za svako v. Drukčije rečeno, stupanj svakog vrha v je najviše jednak r, tj. deg(v) ≤ r (tj. osoba v ima najviše r bliskih osoba). Nadalje, neka je I neprazni podskup skupa vrhova V čije ćemo elemente zvati inficirani (ili zaraženi ili okuženi) vrhovi. Uzmimo da je njihov broj #I ≤ k (recimo, k = 300 000). Dakle, imamo najviše k okuženih vrhova. Konačno, neka je J = {v ϵ V; d(v,I) ≤ s} skup svih vrhova koji su od inficiranih udaljeni najkraćim putom za najviše s koraka, tj. neki vrh v pripada skupu J ako postoji inficirani vrh u i put od u do v koji se sastoji od najviše s bridova iz E (recimo, s = 2). Vrhove iz J ćemo zvati potencijalno (moguće ili možebitno) zaraženim vrhovima.

Problem se sastoji u tome da se procijeni vjerojatnost p da neki nasumice odabrani vrh v ϵ V postane inficiran (zaražen ili okužen), tj. da je v ϵ J. Pod kojim je okolnostima p = 1, tj. da svi vrhovi iz V budu u konačnici zaraženi, tj. da je J = V ( isključujući trivijalnosti poput k = n)?

JEDNO RJEŠENJE

Očito je p = #J/n (sjetimo se, vjerojatnost = broj povoljnih/broj svih mogućih slučajeva). Budući je k = #I ≤ #J, slijedi da je k/n ≤ p (simbol ≤ se čita „manje ili jednako“). Sada želimo naći jednu gornju među za p. U tu svrhu uzmimo jedan inficirani vrh u ϵ I. Okolina N(u) ima najviše r članova. Svaki w ϵ N(u) ima, osim u, još najviše r-1 susjeda. Dakle, s obzirom na inficiranog u, imamo najviše r(r-1) vrhova na udaljenosti najviše 2 od inficiranoga u. Nastavimo i dalje tako, dobivamo da je najviše 1+r+r(r-1)+r(r-1)²+…+r(r-1)^s-1 vrhova iz V najviše za s udaljeno od inficiranoga u. Kako svih inficiranih ima k (sjetimo se, #I = k), slijedi da skup J ima najviše k[1+r+r(r-1)+r(r-1)²+…+r(r-1)^s-1] elemenata. Dakle, to je gornja granica za potencijalno zaražene članove skupa V. Prema tome, dobivamo grubu procjenu za vjerojatnost p da neki slučajno odabrani vrh bude potencijalno zaražen:

k/n ≤ p ≤ k[1+r+r(r-1)+r(r-1)²+…+r(r-1)^s-1]/n.

Vjerojatnost p je 1, kad je k[1+r+r(r-1)+…+r(r-1)^s-1] ≥ n.

Iz gornje procjene vidimo eksponencijalni rast jer imamo varijablu s-1 u eksponentu, a prisjetimo se da s znači  kako je netko daleko od najbližeg zaraženog.  Mi smo samo jednostavnosti radi uzeli s = 2. Grubo govoreći, vjerojatnost p je za s = 2 najviše jednaka kr²/n, a općenito od kr^s/n, očito eksponencijalno.

U posebnom slučaju koji samo doneklerealno izražava stanje zaraze dobivamo s malo računanja procjenu

0,0000375 ≤ p ≤ 0,38275.

Dakle, šansa da budete potencijalno zaraženi pod navedenim uvjetima  je u postocima između 0,00375% i 38,2575%. Prema tome, ako ste bili u kontaktu s nekim koji je bio u kontaktu sa zaraženim, šansa da vi postanete zaraženim je najviše 38,26 posto.

Kako je još 1907. rekao Lord Kelvin bez brojki je vaš rad bezvrijedan. Zato evo nekih konkretnih brojki koji daje ovaj primitivni model. Za Hrvatsku uz k = 20, n = 4×10⁶, te r =101, s = 2, na dan 12. ožujka 2020., dobivamo p ≤ 0,05101, dok je primjerice na isti dan za Sloveniju uz k = 60, n = 2×10⁶,  (i iste ostale parametre), taj koeficijent ≤ 0,30606, dakle puno gori. Za Italiju uz k = 12000 i n = 60×10⁶ dobivamo p ≤ 2,5 (što ovdje nije vjerojatnost nego gornja međa), u oba slučaja neusporedivo gori od Hrvatske. Italija 10 puta gora od Slovenije, a Slovenija 6 puta gora od Hrvatske. Međutim, ne znamo neće li za koji dan stanje biti jednako teško u sve tri zemlje? I u cijeloj Europi i svijetu?

Ako je broj zaraženih k ≥ n/[1+r+r(r-1)], jer smo uzeli da je s = 2, onda je p = 1, dakle sigurno će svi biti potencijalno zaraženi. Konkretno, za zadane brojke je to kada je k = 784150. Ukratko, kada broj zaraženih u svijetu dosegne oko 785 tisuća, svi  mi Zemljani ćemo biti zaraženi, barem prema ovom jednostavnom modelu. Oko sredine ožujka 2020., zaraženih u svijetu je oko 150 tisuća, pa do prijelomne brojke i uz eksponencijalni rast ali uz karantene i izolacije zaraženih pitanje je vremena kad će se to dogoditi.  Realnija vrijednost bi bila  s = 3 ili i veća od 3.

HRVATSKI ZNANSTVENIK IZ ROYAL SOCIETY

Smrtnost je među zaraženima u početku pandemije procijenjena između 2.5 posto i 3.4 posto, s tim da je ona oko 0.2 posto kod djece do 18 godina starosti ali i do 15 posto kod starijih od 80 godina i kompromitiranim imunitetom, koliko je danas poznato. Ipak, čini se da je smrtnost puno veća. U v O stopi umiranja, tj. letalitetu, stopi smrtnosti, tj. mortalitetu i ostalim vezanim pitanjima o koronavirusu može se naći u izvrsnom članku koji je napisao epidemiolog dr. sc. Igor Rudan na portalu Index.hr od 10. ožujka 2020. Usput kažimo da je Igor Rudan prvi hrvatski znanstvenik nakon Ruđera Boškovića koji je član britanskoga Royal Society. A kad smo već spomenuli matematičara i fizičara Ruđera Boškovića (1711.-1787.), prisjetimo se da su njegovi mudri Dubrovčani prvi u svijetu u 14. stoljeću uveli karantenu i izolaciju u obrani od kuge.

ZAKLJUČAK

Koronavirus se širi neusporedivo brže od kuge, kolere, SARSA, MERSA i svega do sada poznatog u povijesti čovječanstva. Događa se najgora noćna mora neviđena ni u najcrnjim SF horrorima. Svi mediji diljem svijeta u vijestima govore samo o tome. Ne treba paničariti ali treba biti vrlo oprezan i probati preživjeti. 12. ožujka 2020., američki je predsjednik zabranio sva putovanja između Europe (izuzev UK) i SAD na 30 dana i najavio druge oštre mjere zaštite. Nema druge, nego odmah (samo da ne bude fatalni „petak 13.“) uvesti drakonske mjere izolacija, totalne karantene, zabrana fizičkih kontakata više od 10-ak ljudi, razmaci barem metar itd. Dozvoliti rad samo osnovnih djelatnosti:  bolnica, ljekarni, proizvodnji hrane i pića, čistoće, obustava javnog prijevoza i okupljanja više od 30-ak ljudi, kao što su to već učinili Kina, Južna Koreja i jučer Italija. Svi u Europi i drugdje se toga moraju striktno držati barem mjesec dana, pa će, nadajmo se, neki i preživjeti. Zlokobni gad više neće moći skakati s čovjeka na čovjeka, neće nalaziti nova spremnike (rezervoare) pa će s umrlima koje će nažalost odmah nakon smrti trebati kremirati i oni nestati, a ozdravljeni dočekati lijek i cjepivo.

Preživjelo čovječanstvo će se morati u potpunosti resetirati (preoblikovati) zdravstveno, znanstveno-obrazovno, gospodarski i industrijski, politički, kulturološki, ljudski, s višim standardima solidarnosti i empatije a ne zlobno, sebično i samozatvoreno. U mislima im treba slogan „Zdravi, sretni i veseli bili“ i tako trebaju živjeti. To im od srca želimo!